1．答卷前，考生务必将自己的姓名和准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合
，
，则
A
B．
C．
D．
2．设
，则
A．0 B．
C．1 D．
3．某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了一倍．实现翻番．为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例．得到如下饼图：
A．新农村建设后，种植收入减少
B．新农村建设后，其他收入增加了一倍以上
C．新农村建设后，养殖收入增加了一倍
D．新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半
4．已知椭圆
：
的一个焦点为
，则
的离心率为
A．
B．
C．
D．
5．已知圆柱的上、下底面的中心分别为
，
，过直线
的平面截该圆柱所得的截面是面积为8的正方形，则该圆柱的表面积为
A．
B．
C．
D．
6．设函数
．若
为奇函数，则曲线
在点
处的切线方程为
A．
B．
C．
D．
7．在△
中，
为
边上的中线，
为
的中点，则
A．
B．
C．
D．
8．已知函数
，则
A．
的最小正周期为π，最大值为3
B．
的最小正周期为π，最大值为4
C．
的最小正周期为
，最大值为3
D．
的最小正周期为
，最大值为4
9．某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如右图．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为
A．
B．
C．3 D．2
10．在长方体中
，
，
与平面
所成的角为
，则该长方体的体积为
A．8 B．
C．
D．
11．已知角
的顶点为坐标原点，始边与
轴的非负半轴重合，终边上有两点
，
，且
，则
A．
B．
C．
D．1
12．设函数
，则满足
的
的取值范围是
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数
，若
，则
________．
14．若
满足约束条件
则
的最大值为________．
15．直线
与圆
交于
两点，则
________．
16．△
的内角
的对边分别为
，已知
，
，则△
的面积为________．
三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。
（一）必考题：共60分。
17．（12分）
已知数列
满足
，
，设
．
（1）求
；
（2）判断数列
是否为等比数列，并说明理由；
（3）求
的通项公式．
18．（12分）
如图，在平行四边形
中，
，
，以
为折痕将△
折起，使
点到达
点的位置，且
．
（1）证明：平面
平面
；
（2）
为线段
上一点，
为线段
上一点，且
，求三棱锥
的体积．
19．（12分）
某家庭记录了未使用节水龙头50天的日用水量数据（单位：m³）和使用了节水龙头50天的日用水量数据，得到频数分布表如下：
| 日用水量 |
|
 |
 |
 |
 |
 |
 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 频数 | 1 | 3 | 2 | 4 | 9 | 26 | 5 |
使用了节水龙头50天的日用水量频数分布表
| 日用水量 |
|
|
|
|
|
|
|---|---|---|---|---|---|---|
| 频数 | 1 | 5 | 13 | 10 | 16 | 5 |
（1）在答题卡上作出使用了节水龙头50天的日用水量数据的频率分布直方图：
（3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365天计算，同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表．）
20．（12分）
设抛物线
，点
，
，过点
的直线
与
交于
，
两点．
（1）当
与
轴垂直时，求直线
的方程；
（2）证明：
．
21．（12分）
已知函数
．
（1）设
是
的极值点，求
，并求
的单调区间；
（2）证明：当
时，
．
（二）选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。
22．[选修4—4：坐标系与参数方程]（10分）
在直角坐标系
中，曲线
的方程为
．以坐标原点为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线
的极坐标方程为
．
（1）求
的直角坐标方程；
（2）若
与
有且仅有三个公共点，求
的方程．
23．[选修4—5：不等式选讲]（10分）
已知
．
（1）当
时，求不等式
的解集；
（2）若
时不等式
成立，求
的取值范围．
1．A 2．C 3．A 4．C 5．B 6．D
7．A 8．B 9．B 10．C 11．B 12．D
二、填空题
13．-7 14．6 15．
16．
三、解答题
17．解：（1）由条件可得an+1=
．
将n=1代入得，a2=4a1，而a1=1，所以，a2=4．
将n=2代入得，a3=3a2，所以，a3=12．
从而b1=1，b2=2，b3=4．
（2）{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
由条件可得
，即bn+1=2bn，又b1=1，所以{bn}是首项为1，公比为2的等比数列．
（3）由（2）可得
，所以an=n·2^n-1．
18．解：（1）由已知可得，
=90°，BA
⊥AC
．
又BA⊥AD，所以AB⊥平面ACD．
又AB
平面ABC，
所以平面ACD⊥平面ABC．
．
又
，所以
．
作QE⊥AC，垂足为E，则
．
由已知及（1）可得DC⊥平面ABC，所以QE⊥平面ABC，QE=1．
因此，三棱锥
的体积为
．
（2）根据以上数据，该家庭使用节水龙头后50天日用水量小于0.35m³的频率为
0.2×0.1+1×0.1+2.6×0.1+2×0.05=0.48，
因此该家庭使用节水龙头后日用水量小于0.35m ³的概率的估计值为0.48．
（3）该家庭未使用节水龙头50天日用水量的平均数为
．该家庭使用了节水龙头后50天日用水量的平均数为
．估计使用节水龙头后，一年可节省水
．
20．解：（1）当l与x轴垂直时，l的方程为x=2，可得M的坐标为（2，2）或（2，–2）．
所以直线BM的方程为y=
或
．
（2）当l与x轴垂直时，AB为MN的垂直平分线，所以∠ABM=∠ABN．
当l与x轴不垂直时，设l的方程为
，M（x1，y1），N（x2，y2），则x1>0，x2>0．
由
得ky^2–2y–4k=0，可知y1+y2=
，y1y2=–4．
直线BM，BN的斜率之和为
．①
将
，
及y1+y2，y1y2的表达式代入①式分子，可得
．
所以kBM+kBN=0，可知BM，BN的倾斜角互补，所以∠ABM=∠ABN．
综上，∠ABM=∠ABN．
21．解：（1）f（x）的定义域为
，f ′（x）=aex–
．
由题设知，f ′（2）=0，所以a=
．
从而f（x）=
，f ′（x）=
．
当0<x<2时，f ′（x）<0；当x>2时，f ′（x）>0．
所以f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+∞）单调递增．
（2）当a≥
时
，f（x）≥
．
设g（x）=
，则
当0<x<1时，g′（x）<0；当x>1时，g′（x）>0．所以x=1是g（x）的最小值点．
故当x>0时，g（x）≥g（1）=0．
因此，当
时，
.
22．解：（1）由
，
得
的直角坐标方程为
．
（2）由（1）知
是圆心为
，半径为2的圆．
由题设知，
是过点
且关于
轴对称的两条射线．记
轴右边的射线为
，
轴左边的射线为
．由于
在圆
的外面，故
与
有且仅有三个公共点等价于
与
只有一个公共点且
与
有两个公共点，
或
与
只有一个公共点且
与
有两个公共点．
当
与
只有一个公共点时，
到
所在直线的距离为2，所以
，故
或
．
经检验，当
时，
与
没有公共点；当
时，与只有一个公共点，
与
有两个公共点．
当
与
只有一个公共点时，
到
所在直线的距离为2，所以
，故
或
．
经检验，当
时，
与
没有公共点；当
时，
与
没有公共点．
综上，所求的方程为
．
23．解：（1）当
时，
，即
故不等式
的解集为
．
（2）当
时
成立等价于当
时
成立．
若
，则当
时
；
若
，
的解集为
，所以
，故
．
综上，的取值范围为
