说明：在高中数学课本选择性必修第三册的第11页，提到了斐波那契数列通项公式，但没有提供证明，这里我把很早以前写的一篇证明文章再拿出来，供大家分享。这是一个不需要太多其他知识作为铺垫的证明方法，相对于其他方法，是比较简单的证明。

有一串数列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、……。这个数列从第3项开始，每一项都等于前两项之和。这个数列被称作“斐波那契数列”（Fibonacci sequence），又称黄金分割数列。因数学家列昂纳多·斐波那契（Leonardoda Fibonacci）以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”。

斐波那契在1202年出版的《计算书》中设计了一道有趣的算术题目，称作“兔子算术”，内容如下：有雌雄小兔子一对，小兔子长到2个月大后，如果每个月都会生下雌雄小兔子一对，请问：一年后总共会有多少对兔子呢？

斐波那契数列中的斐波那契数会经常出现在我们的眼前。比如：松果、凤梨、树叶的排列，某些花朵的花瓣数（典型的有向日葵花瓣），蜂巢，蜻蜓翅膀，超越数e，黄金矩形、黄金分割、等角螺线，十二平均律等。

有趣的是，这样一个完全是自然数的数列，通项公式却是用无理数来表达的。而且当数列趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割率（约等于1.618）。比如：5÷3＝1.666，21÷13＝1.615，34÷21＝1.619，……。越到后面，所得的结果与黄金分割率（φ）越来越接近。

下面，我们就来证明一下斐波那契数列的通项公式是如何得到的。

由黄金分割率的定义可以推出：

这个方程有两个解，其中一个是正解，即：φ＝(1＋√5)/2≈1:618。

对这个方程两边同时乘上φ，我们可以得到以下式子：

假如用Fn表示斐波那契数列的第n项，则我们可以把上面的式子进一步变为：

于是，我们可以用数学归纳法证明推出：

然后，我们把前面第一个方程的两个根分别代入这个式子，得到：

两式相减可以得到：

因此，我们可以得到斐波那契数列的通项公式：

当n趋向于∞时，有

这就证明了前文所提到的“当数列趋向于无穷大时，后一项与前一项的比值越来越逼近黄金分割率”。

我们还可以通过构建长方形的方法推出黄金分割率。如下图所示：

根据斐波那契数列的特性，我们可以得到：

则

于是推出：

即：

最后，我们可以通过技巧得到下面的结果（证明过程略过）：

这个式子还可以通过图形来表示：