1 回顾：反三角函数的定义域与值域
上次说过，定义域是函数的灵魂。因此我们有必要回顾一下反三角函数的定义域，以及值域：
并且再次贴上上次归纳的特点：
（3）“弦”的三角函数都为闭区间，“切”的三角函数都为开区间。
2 从y=sin(arcsin x)与y=arcsin(sin x)
说起上一节第3部分【反三角函数的基本运算】中我们掌握了计算反三角函数的一般方法——换元。没有看过或者已经忘记的小伙伴可以戳下面补补课↓
高中和大学都不讲的三角函数知识（二）——反三角函数的定义与基本运算
2.1 y=sin(arcsin(x))与y=arcsin(sin(x))
这里我们先来看一个简单的问题，作出下面两个函数的图象：
这两个问题放在一起的时候看起来非常迷惑，但是严谨的换元法会帮助我们解决这个问题。基本的思想就是把“arcsin XX”设为α。第（1）个问题比较简单，过程如下：
注意：任何换元伴随着新元的取值范围。
最终的图象是直线y=x在(-1,-1)到(1,1)的一段。
但是第二个问题没有表面上看起来那么简单，按照一般的换元思路，我们首先得到：
而g(x)=α，也就是说，图象是α与x的关系，而且α必须在一定范围内。首先根据sin α=sin x可以得到
根据α的范围又有
即
综上，得到g(x)的表达式为
至于图象，大致如下：
2.2 三角函数与反三角函数的混合运算
利用换元法，我们可以得到以下混合运算的结果：
过程就不再赘述。这里只列举了“三角函数(反三角函数(x))”的结果，是因为它们的定义域是有限的，较为简单；而“反三角函数(三角函数(x))”则较为复杂，有兴趣的读者可以自行研究。
有了前面定义域和值域的铺垫，再加上反函数的两条性质：
（2）相同区间内反函数与原函数的单调性一致.
性质（1）已经在高中数学课程中学过，性质（2）是显然的。从感性的角度理解，“x越大y越大”和“y越大x越大”都是单调递增，单调递减同理。
于是，我们根据对称性得到下列反三角函数的图象：
3.1 函数y=arcsin(x)的图象
3.2 函数y=arccos(x)的图象
3.3 函数y=arctan(x)的图象
3.4 函数y=arccot(x)的图象
4 反三角函数的公式
最后，我们来学习反三角函数的一些基本公式。
4.1 负数关系
显然反正弦函数和反正切函数是奇函数，所以有
从图上可以看出反余弦函数与反余切函数有对称中心(0,π/2)，故有
但这一点最好还是加以严格的证明：
上面四个公式称为反三角函数的负数关系。
4.2 余角关系
同样地，运用换元法，可以得到下列反三角函数的余角关系：
4.3 导数
由于反三角函数是三角函数的反函数，因此可以用反函数的导数关系得到反三角函数的导数。这里先给出这一关系的直观理解：我们知道，原函数与反函数的图象关于直线y=x对称，因此对应点处的斜线斜率互为倒数（这是容易证明的）。根据导数的几何意义，反函数在某一点处的导数等于原函数在同一点处的导数的倒数，即
其中f(x)与g(x)互为反函数。由此可以得到反三角函数的导数表：
5 总结
本节在回顾反三角函数的定义域和值域的基础上，通过三角函数与反三角函数的混合运算加深了对换元法应用的认识，并借此研究三角函数的图象与相关公式。
